積分問題の解法：f(t) = ∫[0,∞] e^{-tx}(sin x)/x dx の解法と関連する積分

この問題では、2つの積分を解く方法について解説します。まず、関数f(t) = ∫[0,∞] e^{-tx}(sin x)/x dxのt>0の場合の解法を探ります。その後、特定の積分∫[0,∞] (sin x)/x dxの求め方について詳しく説明します。

問題の概要

与えられた問題では、まずf(t)を求めることが求められています。次に、積分∫[0,∞] (sin x)/x dxを解く必要があります。特に(ii)の方程式では、sin x/xという関数を積分する方法に焦点を当てます。

f(t)の積分は次のように定義されます。

f(t) = ∫[0,∞] e^{-tx}(sin x)/x dx

この積分は複雑な形をしていますが、積分範囲が0から∞までであり、e^{-tx}が指数関数的に収束するため、数学的にはラプラス変換を使って解くことができます。解の求め方は次のようになります。

この結果、f(t)を計算する方法が得られます。

次に、積分∫[0,∞] (sin x)/x dxを求める方法です。この積分は有名な定積分であり、解析的に求めることができます。実際、この積分は数値的にも非常に重要で、次のように評価されます。

∫[0,∞] (sin x)/x dx = π/2

この積分の解法は、定積分の一つとして、数式で示されることが多いです。特に、積分の範囲が0から∞であり、sin x/xのような形の積分は、直接解くよりもテクニック（積分の収束性を考慮した解法）を使用して求めます。

この問題では、まずf(t)の積分を求めるためにラプラス変換を使い、その後sin x/xの積分を解析的に解く方法を学びました。これらの解法は、特に数学的解析や物理学などで広く使用される手法です。解法をマスターすることで、より複雑な積分問題にも対応できるようになります。