広義積分の近似列と集合の性質に関する問題

この問題では、広義積分の近似列について、集合 Dn の性質を確認することが求められています。具体的には、Dn が次の3つの条件を満たすことを示す必要があります。条件(1)から(3)を順に考察し、具体的な証明方法を解説します。

1. Dn ⊂ D (n = 1, 2, . . . )

この条件は、各 n に対して Dn が集合 D に含まれていることを示すものです。具体的には、Dn = {(x, y) | −n ≦ x ≦ n, −n ≦ y ≦ n} であり、n が増加するごとに、D2 や D3 などの集合が D を包含する形になります。この点において、D2 ⊂ D3 など、より大きな範囲を含むことを確認できます。

2. D1 ⊂ D2 ⊂ D3 ⊂ · · ·

次に、Dn の列が増加する形で包含関係が成り立つことを示します。すなわち、D1 ⊂ D2 ⊂ D3 という順番で Dn の集合が拡大することを確認する必要があります。これは、n の値が大きくなるにつれて、各 Dn がより広い範囲をカバーしていくことを意味します。

3. D に含まれる有界閉集合は、いずれかの Dn に含まれる

最後に、D に含まれる有界閉集合が、いずれかの Dn に含まれることを示します。これにより、Dn の集合が徐々に広がるだけでなく、D の中の有界閉集合もこれらの集合に含まれることが確認できます。

4. まとめ

この問題では、広義積分の近似列における集合 Dn の性質を証明しました。Dn の包含関係、順番に増加する性質、有界閉集合が含まれる性質などを順を追って確認することで、数学的な理解を深めることができます。