時間依存のシュレディンガー方程式の解法とガウス積分の活用

大学物理の問題でシュレディンガー方程式の解法やガウス積分を用いる場面はよくあります。特に、時間依存のシュレディンガー方程式において、初期状態がδ関数のような波動関数で与えられている場合、ガウス積分のテクニックを使って解くことが多いです。この問題では、Ψ=δ(x-x0)exp(ikx)という初期状態を用い、ガウス積分を使用して計算する方法について解説します。

1. シュレディンガー方程式の概要

シュレディンガー方程式は、量子力学において物質の波動関数を記述する基本的な方程式です。時間依存のシュレディンガー方程式は、以下の形をしています。

iℏ ∂Ψ(x,t)/∂t = HΨ(x,t)

ここで、Ψ(x,t)は波動関数、Hはハミルトニアン演算子、ℏはプランク定数です。この方程式を解くことで、物理系の時間発展を求めることができます。

2. 初期状態とガウス積分の使用

問題において、初期状態はΨ(x,0) = δ(x – x0)exp(ikx)として与えられています。ここで、δ(x – x0)はディラックのデルタ関数を意味し、特定の位置x0で波動関数が集中的に存在していることを示します。exp(ikx)は、波数kの平面波を意味します。

ガウス積分の公式、∫-∞→∞ exp(-ax²) dx = √π/aは、このような積分を扱う上で非常に重要です。これを利用して、シュレディンガー方程式を解くための適切な変換を行います。

3. 解法の手順

シュレディンガー方程式において、与えられた初期状態Ψ(x,0)を使って、時間tの経過とともに波動関数Ψ(x,t)を求めます。このためには、波動関数をフーリエ変換し、解く必要があります。

フーリエ変換を使用して、初期状態を波数kに関する成分に分解します。これにより、時間発展を扱うための適切な式を得ることができます。その後、与えられた初期状態に対応する解を得るために、ガウス積分を活用します。

4. 結果の解釈と応用

得られた解は、時間とともに波動関数がどのように変化するかを示します。この結果は、量子力学における粒子の運動を理解するために非常に有用です。特に、初期状態がディラックのデルタ関数である場合、波動関数は非常に局所的な性質を持っており、時間経過とともにどのように広がっていくのかを観察することができます。

この問題で扱ったような時間依存のシュレディンガー方程式を解く技法は、物理学や他の分野において重要な応用が多いため、ガウス積分やフーリエ変換の理解が深まることは非常に有益です。

5. まとめ

この問題を通して、時間依存のシュレディンガー方程式の解法とガウス積分の活用法について学びました。特に、初期状態がδ関数で与えられる場合、フーリエ変換とガウス積分をうまく使うことで、波動関数の時間発展を求めることができます。量子力学におけるこのような手法は、物理学の問題解決において広く用いられています。