反射性、対称性、反対称性、推移性の違いと具体例

この問題では、集合 S = {1, 2, 3} 上で定義された関係について、反射性、対称性、反対称性、推移性がどのように適用されるかを考察します。これらの性質は集合の関係がどのように機能するかを理解するための重要な概念です。

1. 反射性とは

反射性とは、集合の各要素がその関係において自分自身と結びついている性質です。つまり、すべてのa ∈ Sについて、(a, a)が関係Rに含まれている必要があります。たとえば、R1 = {(1,1),(1,2),(1,3),(3,3)} という関係は反射性を満たしません。なぜなら、(2, 2)と(3, 3)が欠けているからです。

2. 対称性とは

対称性とは、関係において、(a, b)が含まれているならば(b, a)も必ず含まれている性質です。つまり、関係が左右対称であるということです。例えば、R2 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)} という関係は対称性を満たします。

3. 反対称性とは

反対称性とは、もし(a, b)と(b, a)の両方が関係Rに含まれているならば、a = bでなければならないという性質です。反例として、R3 = {(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)}は反対称性を満たしません。なぜなら、(1, 2)と(2, 1)が存在しているため、a ≠ bで矛盾するからです。

4. 推移性とは

推移性とは、もし(a, b)と(b, c)が関係Rに含まれているならば、(a, c)も関係Rに含まれている必要があるという性質です。たとえば、R4 = {(1,1),(2,2),(3,3)} という関係は推移性を満たします。

5. 具体例を通して理解する

具体的にR1, R2, R3, R4の関係に対して反射性、対称性、反対称性、推移性を考え、どの性質が成り立つかを検討します。R1, R2, R3, R4の各関係に対して、反例を挙げたり、満たしている性質を示したりすることで、より深く理解することができます。

6. まとめ

反射性、対称性、反対称性、推移性は集合論における基本的な概念です。これらの性質を理解することで、集合の関係がどのように機能するのかを把握でき、数学的な問題解決に役立ちます。