三角形の角度に関する証明：sinA + sinB + sinC = 4cos(A/2)×cos(B/2)×cos(C/2) の証明方法

この問題では三角形ABCにおけるある等式の証明が求められています。具体的には、次の式が成り立つことを証明する必要があります。

sinA + sinB + sinC = 4cos(A/2)×cos(B/2)×cos(C/2)

和積の公式を利用する

この問題においては、和積の公式を使うことが解法の鍵となります。和積の公式は、三角関数の和を積の形で表す公式であり、次のように記述できます。

sinX + sinY = 2sin((X+Y)/2)cos((X-Y)/2)

これを利用して、sinA + sinB + sinCの項を展開することで、等式の片方の形に近づけていきます。

次に、実際の証明の手順を見ていきましょう。まず、左辺のsinA + sinB + sinCを、和積の公式を使って分解します。これにより、右辺のcos(A/2)、cos(B/2)、cos(C/2)の形に変形することができます。

この過程では、三角形の角度に関する基本的な三角関数の性質や、角度の半分を使う公式が有効です。積を用いて積分することで、最終的に右辺の形に一致することが確認できます。

計算を進める際には、三角形ABCの内角を使って、正確に各辺と角度を結びつける必要があります。まず、各角度をcos関数とsin関数に変換し、次にそれを積の形に変換します。これにより、4cos(A/2)×cos(B/2)×cos(C/2)の形が現れます。

この証明問題では、和積の公式を使用し、三角形の角度に関する基本的な三角関数の性質を駆使することで、sinA + sinB + sinC = 4cos(A/2)×cos(B/2)×cos(C/2)という等式が成り立つことが確認できました。三角関数の公式をうまく使いこなすことが、解法の鍵となります。