数IIの円の方程式から中心と半径を求める方法

数IIの問題において、円の方程式からその中心の座標と半径を求める方法について解説します。円の方程式を一般的な形に変換し、中心と半径を簡単に求めることができます。今回は、具体的な問題に基づいて説明します。

① 方程式 x^2 + y^2 + 2x – 6y + 1 = 0 の中心と半径

まず、方程式を円の一般形に変換します。円の方程式は通常、(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 の形式です。これに合わせるためには、x^2 + 2x と y^2 – 6y をそれぞれ完成平方を使って整理します。

1. x^2 + 2x を完成平方すると (x + 1)^2 – 1 になります。

2. y^2 – 6y を完成平方すると (y – 3)^2 – 9 になります。

これを元の方程式に代入すると、(x + 1)^2 + (y – 3)^2 = 9 となり、中心の座標は (-1, 3) で半径は √9 = 3 です。

次に、この方程式も同様に完成平方を使って解きます。

1. x^2 – 4x を完成平方すると (x – 2)^2 – 4 になります。

2. y^2 + 10y を完成平方すると (y + 5)^2 – 25 になります。

これを元の方程式に代入すると、(x – 2)^2 + (y + 5)^2 = 25 となり、中心の座標は (2, -5) で半径は √25 = 5 です。

この方程式を解くために、まず両辺を2で割って整理します。

x^2 + y^2 + 4x + 2y – 4 = 0 となります。

次に、完成平方を行います。

1. x^2 + 4x を完成平方すると (x + 2)^2 – 4 になります。

2. y^2 + 2y を完成平方すると (y + 1)^2 – 1 になります。

これを元の方程式に代入すると、(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 となり、中心の座標は (-2, -1) で半径は √9 = 3 です。

円の方程式を解く際には、完成平方を利用して中心と半径を求めることが重要です。各問題について整理したように、円の方程式を一般形に変換し、中心と半径を正確に求めることができます。計算の手順をしっかりと踏んでいくことが、円の問題を解くポイントです。