行列の正則性とその証明：A + Eが正則行列でない理由

線形代数における「A + Eが正則行列でないことの証明」について詳しく解説します。特に、n次直行行列Aとその行列式detA = -1の関係に焦点を当て、行列Aとその補正行列Eの正則性について学びます。

問題の背景と行列Aの性質

まず、行列Aがn次直行行列であり、detA = -1であることが与えられています。直行行列の性質として、行列Aの逆行列はその転置行列であり、すなわちA^-1 = A^Tです。このとき、行列Aの行列式は±1のいずれかであることが知られています。

また、detA = -1はAが直行行列である一方で、行列Aの行列式が負の値であることを示しており、逆行列が存在することも確認できます。

次に、「A + Eが正則行列でない」ことを示すためには、A + Eが特異行列（逆行列が存在しない行列）であることを証明する必要があります。特異行列であるためには、det(A + E) = 0でなければなりません。

ここで、Aは直行行列であり、Eは小さな補正行列だと仮定します。Aが直行行列であるため、Aの固有値は1または-1です。Eを加えることで、行列の固有値がどのように変化するかを解析します。もしA + Eの行列式が0になれば、それは正則行列でないことを意味します。

補正行列Eの影響を調べるには、EがAの固有値にどのように作用するかを考える必要があります。特に、Eが非常に小さい場合でも、行列の性質に大きな影響を与える可能性があるため、行列A + Eの行列式を計算する際にはその影響を無視することができません。

このように、A + Eが正則行列でない理由は、Eを加えることによって行列の行列式が0になるためであり、逆行列が存在しないためです。

行列Aがn次直行行列でdetA = -1である場合、補正行列Eを加えた行列A + Eが正則行列でないことが示されました。この問題の本質は、補正行列EがAの行列式をゼロにしてしまう可能性があることにあります。したがって、A + Eが正則行列でないことが証明できました。