この問題では、関数 f(x) = x² – 2ax + 6a の最小値が 9 であるとき、定数 a の値を求める方法を解説します。
1. 問題の整理
まず、与えられた関数 f(x) = x² – 2ax + 6a の最小値が 9 であることが示されています。この関数を使って最小値を求めるために、まずは微分を使って最小値を求めましょう。
2. 微分を使った最小値の求め方
f(x) の導関数 f'(x) を求めます。微分すると次のようになります。
f'(x) = 2x – 2a
最小値を求めるためには、f'(x) = 0 の時の x の値を求めます。これにより、最小値を得る点が分かります。
3. 解を求める
f'(x) = 0 のとき、2x – 2a = 0 となり、x = a になります。この時点で、x = a のときが最小値を取る点であることが分かりました。
4. 最小値が 9 である条件を使う
次に、最小値が 9 であるという条件を使います。最小値を求めるために x = a のときの f(x) の値を計算します。
f(a) = a² – 2a(a) + 6a = a² – 2a² + 6a = -a² + 6a
最小値が 9 であることから、次の式が得られます。
-a² + 6a = 9
5. a の値を求める
この式を解きます。
-a² + 6a – 9 = 0
a² – 6a + 9 = 0
(a – 3)² = 0
したがって、a = 3 となります。
6. まとめ
与えられた関数 f(x) の最小値が 9 であるとき、定数 a の値は 3 であることが分かりました。
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