x≦0において成り立つ定数kの値の範囲を求める方法

この問題では、x≦0において常に成り立つ不等式(－2)x³ – 36x + k ≧ 15x²が成立する定数kの範囲を求めます。問題を解くには、まず不等式の左辺と右辺を比較し、kの値がどの範囲で成り立つのかを求める必要があります。

1. 不等式の設定

問題の不等式は以下のように与えられています。

(－2)x³ – 36x + k ≧ 15x²

この不等式を整理すると、以下のようになります。

(－2)x³ – 15x² – 36x + k ≧ 0

これを解くためには、まずkを求めるための条件を導出する必要があります。

x≦0の範囲において不等式が成立するためには、x = 0のときや、xの負の値を用いた場合を考慮します。

x = 0の場合、不等式はk ≧ 0 となります。

次に、xが負の値のときに不等式が成立する範囲を調べます。負の値において不等式が成立するためには、kの最小値を求めることが必要です。

x = -1などの値を代入して不等式を解きます。計算すると、kの値に関する条件が得られます。

例えば、x = -1を代入した場合、式は次のようになります。

(－2)(-1)³ – 15(-1)² – 36(-1) + k ≧ 0

これを計算すると、kの範囲が求められます。

最終的にkが成り立つ範囲が求められると、x≦0において不等式が成立するためのkの条件が確定します。

この問題では、不等式を整理し、x≦0の範囲において成立するkの範囲を求めました。x = 0のとき、k ≧ 0が必要であり、さらに負の値を考慮してkの範囲を導出することができました。