数学Iの問題解説：式がすべてのxの値に対して1以上である条件を求めよ

この問題では、与えられた式(a+2)²+2ax+aがxのすべての値に対して1以上である条件を求めます。特に「xのすべての値に対して1以上」という表現が理解できない方も多いかもしれません。そこで、具体的な解き方と共に、まずその意味を解説します。

1. 「xのすべての値に対して1以上」とは

問題文にある「xのすべての値に対して1以上」というのは、式の値がxの取り得る任意の値に対して常に1以上である必要があるという意味です。つまり、xの値がどんなに変わっても、この式が常に1以上でなければならないという条件です。

問題の式は、次のように展開できます。

(a+2)² + 2ax + a = a² + 4a + 4 + 2ax + a

これを整理すると、

a² + (2a+1)x + (a+4)

となります。ここで、この式がxのすべての値に対して1以上であるためには、2a+1が0未満にならないようにする必要があります。また、定数項部分であるa+4も1以上である必要があります。

式が1以上である条件を求めるためには、まず2a+1の値が0未満にならないようにする必要があります。したがって、2a+1＞0となるようにaの範囲を求めます。

2a + 1 > 0

これを解くと、a > -1/2 となります。

また、定数項部分であるa+4についても1以上である必要があるため、

a + 4 >= 1

これを解くと、a ≥ -3 となります。

したがって、aの範囲はa ≥ -3かつa > -1/2となります。この2つの条件を満たす範囲は、a > -1/2 です。

以上より、問題の解答は「a > -1/2」となります。