4階線形微分方程式の一般解の作り方：重解と複素数解の場合

4階線形微分方程式で重解や複素数解が出た場合、一般解を作る際に使う定数の選び方について迷うことがあります。特に、1の重解や1±2iのような複素数解が得られた場合、定数C1やC2を使うべきか、C3やC4を使うべきかについて、混乱することがあります。本記事では、このような場合における一般解の作り方を解説します。

1. 4階線形微分方程式の解法の基本

4階線形微分方程式の解法では、まずその方程式の特性方程式を解くことで、解の形式を決定します。解は実数解、重解、複素数解などに分かれることがあります。特に、重解や複素数解が出た場合、一般解の求め方が少し異なるため、注意が必要です。

2. 重解の場合の一般解

重解の場合、例えば「1」が重解である場合、その解は次のような形になります：
y = C1e^x + C2xe^x
ここで、C1とC2は任意定数です。重解に対しては、1つの解だけではなく、対応する複数の解を使うことで、一般解を構成します。

3. 複素数解の場合の一般解

次に、1±2iのような複素数解が得られた場合、その解は次のように表されます：
y = e^x (C3cos(2x) + C4sin(2x))
ここでも、C3とC4は任意定数です。複素数解に対応する解は、実数部分と虚数部分を使った線形結合の形になります。

4. C1、C2またはC3、C4を使うべきか？

質問にあるように、C1、C2またはC3、C4を使うべきかという疑問についてですが、これは解の種類によります。重解の場合はC1とC2を使い、複素数解の場合はC3とC4を使います。これは、どの解が出たかによって、どの定数を使うべきかが決まるためです。

まとめ

4階線形微分方程式において、重解や複素数解を得た場合、一般解を作る際には、それぞれの解に対する定数を選ぶことが重要です。重解にはC1、C2、複素数解にはC3、C4を使うことで、適切な一般解を得ることができます。これらの方法をしっかり理解し、問題に応じて適切な定数を使うことが解法の鍵となります。