√3が無理数であることの証明における互いに素な自然数の必要性

√3が無理数であることを証明する際、背理法を使用し、√3 = q/p とおいて p と q を互いに素な自然数とする理由について解説します。

証明における背理法の役割

無理数であることを証明するために背理法を使用する場合、まず√3 が有理数だと仮定します。有理数は、p と q という互いに素な自然数で表すことができます。この仮定のもとで矛盾が生じることを示すことで、√3 は無理数であると結論します。

互いに素な自然数を選ぶ理由

p と q を互いに素な自然数とする理由は、仮定が最も簡潔かつ一般的な形で行われるためです。もし p と q が共通の約数を持っていると、分数を簡単に約分できます。これでは最初の仮定と矛盾を生じさせることができないため、最も簡単な形にするために互いに素な自然数と設定します。

整数の場合との違い

整数を使う場合、符号に問題が生じます。仮に負の数を含むと、式の両辺で符号が合わなくなるため、p と q は正の自然数に限定するのが一般的です。さらに、整数での仮定は分数として表現する際に不都合を招くことがあります。

まとめ

√3 の無理数性を背理法で証明する際に、p と q を互いに素な自然数とする理由は、証明が矛盾なく進むために必要不可欠なステップです。自然数を使うことで、証明が簡潔で一貫性を持って進行することができます。