数学の問題で、2つの変量X, Yに対して、X=ax+b、Y=cy+dと定義したとき、XとYの共分散がなぜSXY=acSxyになるのかという疑問について解説します。
1. 共分散の定義
共分散とは、2つの変量の間にどれほど線形の関係があるかを表す統計的な指標です。XとYの共分散は、次のように定義されます：Sxy = E[(X – E[X])(Y – E[Y])]。ここで、E[X]とE[Y]はそれぞれXとYの期待値です。
2. XとYの定義について
X=ax+b、Y=cy+dという定義が与えられた場合、それぞれの変量はa, b, c, dという定数を使って線形変換されています。Xの定義から見ると、aとbはXのスケールとシフトを決定します。同様に、Yの定義においてcとdはYのスケールとシフトを決定します。
3. 共分散の計算
XとYの共分散SXYを求めるために、共分散の定義に基づいて計算を行います。まず、XとYの期待値を求める必要があります。Xの期待値E[X]はaE[x] + b、Yの期待値E[Y]はcE[y] + dです。次に、共分散SXYは、次のように展開できます：SXY = E[(X – E[X])(Y – E[Y])] = E[((ax+b) – (aE[x] + b))((cy+d) – (cE[y] + d))]となり、この計算を進めると、SXY = ac * Sxyという結果になります。
4. 結論
なぜSXY = acSxyとなるかについて理解するためには、XとYがそれぞれ定数a, cでスケーリングされていることが重要です。このスケーリングの影響を反映させた結果、共分散もaとcの積に比例することになります。つまり、XとYの共分散は、元の共分散Sxyをaとcでスケーリングしたものになります。
5. まとめ
X=ax+b, Y=cy+dと定義された場合、XとYの共分散がSXY=acSxyとなる理由は、XとYの線形変換によって共分散がaとcでスケーリングされるためです。この法則は、変量間の線形関係を扱う際に非常に重要な概念です。
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