群論における部分群と包含写像の関係

群論における部分群と包含写像の理解は、群の構造を深く知るために重要です。本記事では、群Gとその部分群Hに対する包含写像f:H→Gの関係、そしてその像Im fに関する理解を深めます。また、全単射(同型)写像φ: H→Im fが存在する場合の影響についても考察します。

包含写像とその像について

群Gとその部分群Hが与えられたとき、包含写像f:H→Gを定義することができます。このとき、fはHからGへの写像で、各x∈Hに対してf(x) = xとなります。問題は、この包含写像によって得られる像Im fがHと一致するかどうかを尋ねています。

まず、この場合、f:H→Gの像は必ずしもHと一致するわけではありません。部分群HはGの中の一部分に過ぎないため、fの像がHと一致するためには、追加の条件が必要です。一般的に、f(H) = Im f はH ⊊ Im fであり、HはIm fの部分集合でありながら、それと一致するわけではありません。

全単射(同型)写像の影響

次に、全単射（同型）写像φ: H→Im fが存在する場合、Im fとHが一致する理由について考えます。全単射写像とは、各元素が一意に対応し、かつその対応が逆も成立する写像です。

この場合、φ: H→Im fが同型であるため、HとIm fは構造的に等しいことが分かります。同型写像は群の演算を保つため、HとIm fは実質的に同じ群であり、したがってIm f = Hとなります。このように、全単射（同型）写像が存在する場合に限り、Im f = Hが成り立つのです。

まとめ

群Gと部分群Hに対する包含写像f:H→Gの像Im fがHと一致するかどうかは、単なる包含写像だけでは決まりません。全単射（同型）写像が存在する場合、Im fとHは一致しますが、そうでない場合はIm f ⊊ Hとなります。このように、群論における部分群とその像の関係を理解することで、群の構造についてより深い洞察が得られます。