この問題では、与えられた双曲線の方程式からその形を理解する方法を解説します。方程式は「x²/4 – y²/2 = -1」であり、双曲線の形がどのようになるのか、そしてその特徴についても説明します。
双曲線の基本的な形
双曲線は2つの枝を持つ曲線で、一般的に2つの定点（焦点）からの距離が常に一定の差を持つ点の集合です。双曲線の方程式は通常、次のような形で表されます。
- x²/a² – y²/b² = 1（横向きの双曲線）
- y²/a² – x²/b² = 1（縦向きの双曲線）
ここで、aとbはそれぞれ双曲線の軸に関連する定数で、双曲線の形を決定します。
与えられた方程式 x²/4 – y²/2 = -1
この方程式は横向きの双曲線ではなく、縦向きの双曲線を表しています。なぜなら、右辺が負の値「-1」だからです。通常、右辺が正の場合は横向きの双曲線を表し、負の場合は縦向きの双曲線を表します。
方程式の解析と変形
与えられた方程式「x²/4 – y²/2 = -1」を変形して、標準的な双曲線の形にします。
- x²/4 – y²/2 = -1 → y²/2 – x²/4 = 1
これにより、双曲線の方程式が縦向きの形式「y²/a² – x²/b² = 1」に一致することが分かります。ここで、a² = 2、およびb² = 4であることがわかります。
双曲線の特徴と形状
この方程式からわかるように、双曲線はy軸に対して対称です。焦点はy軸上にあり、双曲線は上下に開いた形になります。また、a = √2、b = 2のため、軸の長さはそれぞれ√2および2となります。
まとめ
「x²/4 – y²/2 = -1」という方程式から得られる双曲線は、縦向きであり、y軸に対して対称であることが確認できました。双曲線の形状や焦点、軸の長さを理解するためには、方程式を標準形に変形し、その特徴を把握することが重要です。この問題を通じて、双曲線の基本的な理解が深まることでしょう。
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