点Qが円x^2 + y^2 = 9上を動く時の点Pの軌跡の求め方

この問題では、円 x^2 + y^2 = 9 上を動く点Qと、点A(1, 2)を結ぶ線分AQを2:1に内分する点Pの軌跡を求めます。点Pの軌跡を求めるためのステップを詳しく解説します。

1. 問題の設定と直感的な理解

まず、問題の設定を整理しましょう。点Aは(1, 2)に固定されており、点Qは円 x^2 + y^2 = 9 上を動いています。つまり、点Qは半径3の円の上にある点です。

次に、点Pは線分AQを2:1に内分する点であり、Pの座標を求めるためには、内分点の公式を使用します。内分点の公式は、2つの点を結ぶ線分を指定した比率で分ける点を求めるための方法です。

内分点Pの座標は次のように計算できます。点A(1, 2)と点Q(x, y)を結ぶ線分AQを、Pはその2:1の比率で内分します。

内分点の公式に基づき、Pの座標(x_P, y_P)は次のように求められます。

x_P = (2 * x + 1 * 1) / 3 = (2x + 1) / 3

y_P = (2 * y + 1 * 2) / 3 = (2y + 2) / 3

次に、点Qが円 x^2 + y^2 = 9 上を動くとき、点Pの座標(x_P, y_P)がどのような軌跡を描くかを求めます。Qの座標(x, y)はx^2 + y^2 = 9を満たすので、この条件を使ってPの座標の関係を導きます。

まず、x_P = (2x + 1) / 3 および y_P = (2y + 2) / 3 を式に代入します。

x_Pとy_Pのそれぞれの式を2乗して足し合わせることで、点Pの軌跡の方程式が得られます。

(x_P)^2 + (y_P)^2 = ((2x + 1) / 3)^2 + ((2y + 2) / 3)^2

この式を展開し整理すると、点Pの軌跡がどのような曲線になるかを求めることができます。

点Qが円上を動くとき、点Pが描く軌跡は上記の手順で求めることができました。内分点の公式を使い、点Pの座標を求め、円の方程式を利用してその軌跡を導きました。

このような問題では、内分点を求める公式をしっかり理解し、与えられた条件をうまく組み合わせることが重要です。これにより、点Pの軌跡を正確に求めることができます。