数列の一般項と初項からn項までの和の求め方

数列の一般項と、初項からn項までの和を求める方法について解説します。今回は具体的な数列を用いて、一般項の導出方法とその和の求め方を見ていきます。

数列(1) 2, 3, 6, 11, 18, … の一般項の求め方

まず、この数列をよく観察してみましょう。各項の差を求めると次のようになります。

差が1, 3, 5, 7と増えていることがわかります。この差は、各項の差が「2ずつ増えていく」ことを示しています。よって、この数列は2次関数的な増加を示していると考えられます。

一般項を求めるためには、2次関数の形を仮定します。一般項は次のように表されます。

a[n] = An^2 + Bn + C

これを利用して、初項や他の項を代入してA, B, Cを求めます。最終的に、この数列の一般項はa[n] = n^2 + n となります。

数列の初項からn項までの和を求めるためには、一般項を使って合計を求めます。この数列の和は、次のように計算できます。

S(n) = Σa[n] = Σ(n^2 + n) = Σn^2 + Σn

この式を使って、n項までの和を求めることができます。

次に、この数列を観察します。各項の差を求めると次のようになります。

差が1, 2, 4, 8と倍増していることがわかります。これから、この数列は指数関数的に増加していることが予想されます。

一般項を求めるためには、数列の特徴を考慮して指数関数的な形を仮定します。一般項は次のように表されます。

a[n] = 2^(n-1) + 1

これにより、数列(2)の一般項が求められます。

数列の初項からn項までの和を求めるためには、一般項を使って合計を求めます。数列(2)の和は次のように計算できます。

S(n) = Σa[n] = Σ(2^(n-1) + 1) = Σ2^(n-1) + Σ1

これにより、n項までの和を求めることができます。

数列の一般項を求めるためには、数列の増加の仕方を観察し、適切な関数を仮定します。その後、一般項を使って初項からn項までの和を求めることができます。今回は、2次関数と指数関数的な増加を持つ数列を例にして、一般項と和の求め方を解説しました。