5,6,7,8,9から重複を許して3桁の数を作る問題の解説

この問題では、5,6,7,8,9の5つの数字から重複を許して3桁の数を作る際、少なくとも1つの「5」が使われている数の個数を求めるものです。答えが「5^3 – 4^3 = 61」になる理由と、その中の「4^3」の意味について解説します。

問題の設定

まず、与えられた5つの数字「5,6,7,8,9」から、重複を許して3桁の数を作ります。その中で、少なくとも1つ「5」が使われている3桁の数が何個あるかを求める問題です。

全ての組み合わせは、5つの数字から3桁の数を作るという問題なので、計算式としては5 × 5 × 5 = 5^3通りになります。次に、「5」が使われていない場合の数を求める必要があります。

「5」が使われていない場合、残りの選べる数字は「6,7,8,9」の4つだけです。この場合、3桁の数を作る方法は4 × 4 × 4 = 4^3通りとなります。つまり、「5」が一度も使われていない場合の組み合わせが4^3通りです。

そこで、「5」が少なくとも1回使われる場合は、全体の通り数から「5」が使われない通り数を引けば求められます。つまり、全ての通り数である5^3から、5が使われない通り数4^3を引くことで、少なくとも1つの「5」を含む組み合わせの個数が求められます。

全ての通り数は5^3 = 125通り、5が使われない場合は4^3 = 64通りです。したがって、少なくとも1つ「5」が使われる場合の数は、125 – 64 = 61通りです。

この問題では、5つの数字から3桁の数を作る場合で、「5」が少なくとも1つ使われる組み合わせを求める問題です。答えが「5^3 – 4^3 = 61」になる理由は、「5」が使われない場合の数を引くことで、「5」が少なくとも1回使われている数の個数が求められるからです。