2024年JMO春合宿1問目の解法と整数列の特徴

2024年のJMO春合宿1問目では、特定の条件を満たす正の整数列を求める問題が出題されました。問題の内容は、任意の正の整数nについて、整数列aが次の条件を満たすものとして、全ての解を求めるというものでした。

a[n+c] = 2a[n+1] − a[n] （c ≥ 2）

問題の式と条件の理解

与えられた式は、ある整数c（2以上）に対して、任意のnにおいてa[n+c] = 2a[n+1] − a[n]が成り立つような正の整数列aを求めるものです。式の右辺は、aの隣接する項を使って次の項を決定する形式になっており、この関係を使って解を導く必要があります。

この問題の解法の鍵となるのは、整数列の一般的な形を見つけることです。まず、与えられた式から連立方程式を導き、その中から整数列のパターンを見つける手法を取ります。予測として、「a[n] = m + d(n-1)」という形を仮定し、mとdがどのような値になるかを求めていきます。

予測した形式a[n] = m + d(n-1)に対して、この式が与えられた条件を満たすかどうかを検証します。まず、式の右辺を展開し、左辺との一致を確認します。計算を進めると、mとdの値が決まり、正しい整数列の形を特定することができます。

最終的に、解答として求められる整数列の形式は、「a[n] = m + d(n-1)」であり、ここでmは正の整数、dは非負整数です。したがって、問題の条件を満たす整数列は、この形で表されます。整数列の具体的な値は、mとdを決めることで得られます。

2024年JMO春合宿1問目の問題は、整数列に関する再帰的な関係式を使って解く問題でした。問題の解法は、式の一般的な形を仮定し、条件を満たす値を求めることにより、正の整数列を特定することができました。このアプローチを理解することで、同様の問題にも応用できる考え方を得ることができます。