この問題では、正三角形におけるベクトルを使って点Pの位置を求め、その範囲の面積を算出する方法を解説します。
問題の整理と設定
まず、与えられた条件を整理しましょう。正三角形△OABの一辺の長さは1とします。OPベクトルはsOAベクトル + tOBベクトルで表され、sとtは実数で、1≦s+t≦2、s≧0、t≧0という制約があります。この条件に基づいて点Pが形成する範囲を求めます。
ここで重要なのは、OPベクトルがsとtの重み付き和で表される点です。OAベクトルとOBベクトルは正三角形の辺に沿ったベクトルです。
ベクトルの合成と領域の構成
OPベクトル＝sOAベクトル + tOBベクトルの形になっていますが、ここでOPの範囲を求めるには、sとtの値が与える影響を考慮する必要があります。s+t=1の時点で、点PはOAとOBを結ぶ辺上にあります。
s+t=2の場合、点PはOAベクトルとOBベクトルをそれぞれ2倍にした位置になります。sとtの範囲により、点Pはこの正三角形の中で動きます。特に、s+tの合計が2に近づくにつれて、Pの位置が広がり、範囲が大きくなります。
範囲の面積の計算
この問題で求めるべき面積は、sとtの制約によって形成される領域の面積です。具体的には、sとtが満たすべき条件に基づいて三角形の一部を取り出し、その範囲を計算する方法です。
s≧0、t≧0、1≦s+t≦2という制約のもとでは、図形的に見ると、直線で囲まれた三角形の一部を求めることになります。この三角形の面積は、底辺1（OAの長さ）と高さ1（OBの長さ）から計算できます。
答えの導出
この範囲の面積を求めるためには、三角形の面積公式を使用します。三角形の面積は、底辺×高さ÷2で求められます。したがって、正三角形の範囲の面積は、1×1÷2 = 0.5です。この計算結果により、点Pが存在する範囲の面積は0.5であることが分かります。
まとめ
ベクトルを用いて点Pの範囲を求める方法は、sとtの制約を正確に理解し、図形的に考えることで解くことができます。問題の範囲を求めるために必要なのは、ベクトルの合成を理解し、与えられた制約から導かれる図形の面積を求めることです。今回の問題では、正三角形の中で点Pが存在する範囲の面積を求めることができました。
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