Rにおけるxy≧0は同値関係が成り立つか？

R（実数）における「xy≧0」という不等式について、その性質が同値関係として成り立つかを確認するためには、同値関係の定義に従って検討する必要があります。

1. 同値関係の定義

まず、同値関係とは、次の3つの条件を満たす関係です。

• 反射性：a と a の間で関係が成立する。
• 対称性：a と b の間に関係が成立すれば、b と a の間にも関係が成立する。
• 推移性：a と b の間、b と c の間に関係が成立すれば、a と c の間にも関係が成立する。

この定義に基づいて、「xy≧0」という不等式が同値関係であるかどうかを確認します。

2. 反射性の確認

反射性が成り立つかどうかを確認するためには、x = y の場合を考えます。もしx = yならば、xy = x^2となり、x^2 ≧ 0が成立します。したがって、反射性は満たされます。

3. 対称性の確認

対称性が成り立つかどうかを確認するためには、x ≠ yの場合を考えます。もしxy ≧ 0が成立すれば、逆にy ≠ x でもxy ≧ 0は成立します。したがって、対称性も満たされます。

4. 推移性の確認

推移性が成り立つかどうかを確認するためには、xy ≧ 0が満たされる場合に、xとzの関係を考える必要があります。もしx ≠ y ≠ zが満たされれば、推移性は満たされます。

5. 結論

Rにおける「xy≧0」という不等式は同値関係の条件を満たします。反射性、対称性、推移性がすべて成り立つため、この不等式は実数上で同値関係が成立すると言えます。