フーリエ級数とsin(mx)sin(nx)の積分：[-π/2,π/2]上の直交性

フーリエ級数において、sin(mx)sin(nx)の積分に関する直交性はよく知られています。これが区間[-π,π]上でどうなるかは理解できたが、[-π/2,π/2]上ではどうなるか疑問に思う方も多いでしょう。この記事では、この問題を分かりやすく解説します。

フーリエ級数と直交性

フーリエ級数では、異なる周波数の関数が直交する特性があります。特に、sin(mx)とsin(nx)（m≠n）の積分がゼロになるというのは、重要な性質です。この性質を使って、特定の区間における積分の結果を求めることができます。

まず、フーリエ級数の基本的な直交性の定理について簡単に触れましょう。区間[-π,π]では、異なる周波数のsin関数同士の積分はゼロになります。つまり、m≠nの時、sin(mx)sin(nx)の積分はゼロです。しかし、この性質は区間が変わるとどうなるのでしょうか？

積分区間[-π/2,π/2]での結果

区間が[-π/2,π/2]に変わると、結果が異なります。具体的には、積分がゼロになる条件が変わるため、m≠nでも積分がゼロにならないことがあります。

まず、積分の定義を確認しましょう。sin(mx)sin(nx)を[-π/2,π/2]で積分すると、以下のような計算式になります。

【計算】
∫[−π/2, π/2] sin(mx)sin(nx) dx = 0 (m ≠ nの場合)
∫[−π/2, π/2] sin(mx)sin(nx) dx = π/2 (m = nの場合)

このように、m≠nの場合でも積分結果がゼロになるのは、特定の条件が整う場合に限られます。

直交性の理解を深めるための視点

直交性を理解するには、関数の性質や積分区間に対する影響を考えることが重要です。特に、区間が変わると積分の結果にどう影響が出るかを意識することが大切です。

例えば、区間[-π,π]では完璧な直交性が成立する一方で、区間[-π/2,π/2]ではその性質が若干変化します。積分の結果を見て、どのように直交性が変わるかを具体的に示すことができるようになります。

まとめ

フーリエ級数における直交性は、積分区間によって異なる結果を導くことがあります。特に[-π/2,π/2]上でのsin(mx)sin(nx)の積分は、区間[-π,π]とは異なる結果を得るため、問題を解く際には注意が必要です。積分を正確に計算し、直交性の概念を深く理解することが、フーリエ級数を学ぶ上での鍵となります。