運動量保存則と力学的エネルギー保存則が成り立つときの弾性衝突の式の立て方

運動量保存則と力学的エネルギー保存則は、衝突問題において非常に重要な法則です。特に、弾性衝突においては、これらの法則を利用して物体の速度やエネルギーを計算することができます。本記事では、運動量保存則とエネルギー保存則が成り立つときに、どのように弾性衝突の式を立てるかについて解説します。

弾性衝突とは？

弾性衝突とは、衝突後に運動エネルギーが全く失われない衝突です。このため、弾性衝突では、物体間の相対速度が衝突前と後で同じ大きさを持ち、方向が逆転します。また、衝突中に物体に対する変形やエネルギー損失がないため、エネルギー保存則が成立します。

運動量保存則と力学的エネルギー保存則

運動量保存則とは、外力が働かない場合、衝突前後の総運動量が保存されるという法則です。数学的には、以下のように表されます。

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁’ + m₂v₂’

ここで、m₁、m₂は物体1、物体2の質量、v₁、v₂は衝突前の速度、v₁’、v₂’は衝突後の速度です。

力学的エネルギー保存則は、エネルギーが外部に流出しない場合、衝突前後の総エネルギーが保存されるという法則です。弾性衝突では、運動エネルギーも保存されるため、次のように表されます。

½ m₁v₁² + ½ m₂v₂² = ½ m₁v₁’² + ½ m₂v₂’²

弾性衝突の式を立てる際の判断基準

弾性衝突の式を立てるためには、運動量保存則と力学的エネルギー保存則が両方成り立つ状況を確認する必要があります。具体的には、物体間のエネルギー損失がなく、外力が作用していない場合に限り、これらの法則を適用することができます。例えば、理想的な弾性衝突では、両方の保存則を使って物体の運動を完全に計算することができます。

重要なのは、エネルギー損失がないことと外力が働かないことです。これらが確保されていれば、運動量保存則とエネルギー保存則を使用して衝突前後の物体の速度を求めることができます。

弾性衝突の式の例

例えば、質量m₁の物体が質量m₂の物体と弾性衝突を行う場合、運動量保存則とエネルギー保存則を使って衝突後の速度を計算することができます。衝突後の速度v₁’とv₂’は、以下の式で求められます。

v₁’ = ((m₁ – m₂) v₁ + 2m₂v₂) / (m₁ + m₂)

v₂’ = ((m₂ – m₁) v₂ + 2m₁v₁) / (m₁ + m₂)

まとめ

運動量保存則と力学的エネルギー保存則が共に成り立つ場合、弾性衝突の式を立てることができます。衝突後の物体の速度を計算するためには、両方の法則が適用できる条件を確認することが重要です。理想的な弾性衝突では、これらの法則を用いることで、物体の運動状態を完全に求めることができます。