二次方程式の解と係数の関係を理解することは、数学の重要な基礎です。特に、解の和や積を使って定数aの値を求める問題は、よく出題されます。この記事では、与えられた二次方程式の解を使って、定数aの値を求める問題を解説します。
問題の確認と式の整理
問題文では、二次方程式x² – (a – 2)x – 3a – 1 = 0の2つの解α、βについて考えます。まず、この方程式における解と係数の関係を整理する必要があります。
二次方程式の解の和と積は、それぞれ以下のように求められます。
- 解の和: α + β = -(係数のxの項) / (係数のx²の項) = (a – 2)
- 解の積: αβ = (定数項) / (係数のx²の項) = -3a – 1
α² + β² = αβ + 1を利用する
問題文では、α² + β² = αβ + 1という条件が与えられています。この式を解くためには、まずα² + β²を解の和と積を用いて表現します。次の公式を利用しましょう。
α² + β² = (α + β)² – 2αβ
この式に解の和と積を代入すると、次のように計算できます。
- α² + β² = (a – 2)² – 2(-3a – 1)
これを整理すると、aに関する方程式が得られます。この方程式を解くことで、定数aの値を求めることができます。
aの値を求める
整理した方程式を解くと、a = -2 または a = -3 という2つの解が得られます。これが問題文における模範解答です。
この時、aの値に関する範囲を求めるために、与えられた方程式が実数解を持つ条件を考えます。具体的には、判別式が0以上である必要があります。判別式を計算することで、aの範囲を求めることができます。
実数解の範囲について
次に、x² – (a – 2)x – 3a – 1 = 0が実数解を持つための条件を求めます。この方程式の判別式を計算し、その結果からaの範囲を求めます。
判別式は次のように求められます。
- 判別式 Δ = (a – 2)² – 4(1)(-3a – 1)
この判別式が0以上であることが実数解の条件です。判別式を計算し、aの範囲を求めることで、この方程式が実数解を持つ範囲がわかります。
まとめ
この問題では、二次方程式の解と係数の関係を利用して定数aの値を求める方法を学びました。解の和と積を使って方程式を整理し、条件を満たすaの値を求めることで、問題を解決することができます。実数解の範囲についても、判別式を使って確認することができました。
コメント