NHKの「3か月でマスターするアインシュタイン」で紹介された相対論的加法定理の式 x + y / (1 + xy / 10^2) を使って、どのように1 + 1 = 1 や c + c = c という結果になるのかを説明します。ここではその計算方法を詳しく解説し、xやyに値を代入した時に何が起こるのかを確認します。
相対論的加法定理の概要
相対論的加法定理は、速度が光速に近い場合に物体の速度がどのように加算されるかを示すものです。ニュートン力学では単純に加算できますが、相対性理論では光速を超えることがないため、加法が次のように修正されます。
x + y / (1 + xy / 10^2)
式を使って確認する1 + 1 = 1
まず、x = 1, y = 1の場合を考えます。この場合、式は次のようになります。
1 + 1 / (1 + 1 * 1 / 10^2) = 1 + 1 / (1 + 0.01) = 1 + 1 / 1.01 ≈ 1 + 0.9901 = 1.9901
この結果は、1 + 1 ≠ 1になりますが、相対論的な場合には加算が光速に近づくため、最大でも光速を超えないという現象が反映されます。このように、実際の計算では“1 + 1 = 1”とはならないですが、光速に対する限界を示しています。
式を使って確認する c + c = c
次に、x = c, y = c の場合を考えます。cは光速を意味します。式は次のようになります。
c + c / (1 + c * c / 10^2) = c + c / (1 + c² / 100) ≈ c + c / (1 + 1) = c + c / 2 = c
ここでは、c + c = cとなり、相対論的加法定理が示すように、速度の合成は光速を超えないため、結果として光速cになります。この式が示す通り、光速を超えることはないというのが相対論的加法定理の重要な特徴です。
x や y に11以上の値を代入するとどうなるか？
xやyに11以上の値を代入しても、式は次のように動作します。
例えば、x = 11, y = 11の場合。
11 + 11 / (1 + 11 * 11 / 10^2) = 11 + 11 / (1 + 1.21) = 11 + 11 / 2.21 ≈ 11 + 4.98 = 15.98
このように、xやyの値が大きくなると、結果としてその合成値も増えますが、相対論的加法定理の制約により、光速を超えることはありません。加算の速度は、光速の制限を超えることなく増加します。
まとめ
相対論的加法定理は、速さが光速に近づく場合に重要です。光速以上の速度が出ないように加算を調整するこの定理は、日常的な力学では扱わない複雑な現象を理解する手助けとなります。実際にxやyに異なる値を代入して試してみることで、相対論的加法定理がどのように機能するのか、またその物理的な意味をより深く理解することができます。
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