高校数学における立体図形の問題として、正四面体 OABC における内分点を使った平面と直線の交点を求める問題は非常に興味深いものです。この記事では、与えられた条件を元に3点PQRによって定まる平面と直線BCの交点Sを求める方法を解説します。
問題の設定と整理
まず、問題の条件を整理しましょう。正四面体 OABC の各辺の長さは1です。そして、点P、Q、Rはそれぞれ以下の比で辺を内分します。
- 点P：辺OAを2:3の比で内分（OP:PA=2:3）
- 点Q：辺OCを3:2の比で内分（OQ:QC=3:2）
- 点R：辺ABを3:7の比で内分（AR:RB=3:7）
これらの点P、Q、Rを結ぶことで平面PQRが定まり、直線BCとの交点Sを求めることが目標です。
内分点の座標の求め方
まず、点P、Q、Rの座標を求める必要があります。正四面体の各頂点O、A、B、Cの座標は、立体座標系で設定します。例えば、Oを原点(0, 0, 0)、Aを(1, 0, 0)、Bを(0, 1, 0)、Cを(0, 0, 1)と設定することができます。
内分点の座標は、内分する比に基づいて次の式で求めることができます。例えば、辺OAを2:3の比で内分する点Pの座標は、P = (3A + 2O) / 5 という式を使って計算します。同様に、点QとRもそれぞれの比に基づいて求めます。
平面PQRの方程式を求める
次に、点P、Q、Rを使って平面PQRの方程式を求めます。平面の方程式は、点P、Q、Rを通るベクトルを使って導くことができます。ベクトルPQとベクトルPRを求め、これらのベクトルの外積を取ることで、平面の法線ベクトルを求めます。その後、法線ベクトルと点Pを使って平面の方程式を求めることができます。
平面の方程式が求まったら、その方程式と直線BCの方程式との交点を求めます。
直線BCとの交点Sを求める
直線BCの方程式を立て、平面PQRの方程式との連立方程式を解くことで交点Sの座標を求めることができます。直線BCは、点B(0, 1, 0)と点C(0, 0, 1)を結ぶ直線であり、そのパラメータ表示を使って方程式を立てます。
交点Sの座標が求まったら、BSの長さは、点Bと点Sの距離を求めることで計算できます。距離の公式を使って、BSの長さを求めることができます。
まとめ
正四面体OABCにおける内分点を使った平面と直線の交点を求める問題は、座標を使って立体図形の性質を扱う良い練習問題です。点P、Q、Rの座標を求め、平面PQRの方程式を求めた後、直線BCとの交点を求めることで、BSの長さを求めることができます。このように、座標を使った問題は計算量が多いですが、解法のステップを順番に踏んでいくことで確実に解けます。
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