数学の計算問題：X^2 + 2XY + Y^2 の計算過程

数学の計算問題でよく登場する式、X^2 + 2XY + Y^2 について、具体的な計算を通じて確認してみましょう。ここでは、X = √2 + 1 および Y = √2 – 1 の場合の計算過程を解説します。質問者が計算した結果を検証し、公式通りの計算方法を説明します。

問題の式と与えられた値

与えられた式は、X^2 + 2XY + Y^2 です。また、X と Y の値はそれぞれ次のように与えられています。

まず、与えられた式 X^2 + 2XY + Y^2 を展開していきます。この式は二項定理を使うと次のように展開できます。

X^2 + 2XY + Y^2 = (√2 + 1)^2 + 2(√2 + 1)(√2 – 1) + (√2 – 1)^2

それぞれの項を計算しましょう。

まず、(√2 + 1)^2 を計算します。

(√2 + 1)^2 = (√2)^2 + 2(√2)(1) + 1^2 = 2 + 2√2 + 1 = 3 + 2√2

次に、2(√2 + 1)(√2 – 1) を計算します。これは差の二乗の公式を使うと。

2(√2 + 1)(√2 – 1) = 2[(√2)^2 – 1^2] = 2(2 – 1) = 2

最後に、(√2 – 1)^2 を計算します。

(√2 – 1)^2 = (√2)^2 – 2(√2)(1) + 1^2 = 2 – 2√2 + 1 = 3 – 2√2

以上の結果を元に、式をまとめます。

3 + 2√2 + 2 + 3 – 2√2 = 8

したがって、与えられた式 X^2 + 2XY + Y^2 の計算結果は 8 となります。

今回の計算では、与えられた式 X^2 + 2XY + Y^2 を展開し、各項を計算することで最終的に 8 という結果を得ることができました。公式に沿って計算することで、正しい答えを得ることができます。質問者の計算結果は正しいです。