微分方程式 y' = (2x - y) / (x - y) の解き方

大学数学の微分方程式、y’ = (2x – y) / (x – y) の解き方について解説します。このタイプの方程式は、変数分離法や代数的な変形を駆使して解くことができます。具体的な手順を順を追って説明していきます。

1. 微分方程式の形式を理解する

与えられた微分方程式 y’ = (2x – y) / (x – y) は、y’（yの導関数）を含んだ式です。まずは、これを変数分離法に適用できる形に変形します。y’ = dy/dx として、変数 x と y の関係を式として表します。

まず、この方程式を次のように変形します。

dy/dx = (2x – y) / (x – y)

次に、x と y の項を分けて変形します。変数分離法を適用するために、x と y を別々にしたいので、次のような形にします。

(x – y) * dy = (2x – y) * dx

上記の式を積分して、y の式を求めます。両辺を積分すると、次のような結果が得られます。

積分( (x – y) * dy ) = 積分( (2x – y) * dx )

これを実際に解くことで、y の関数を求めることができます。積分の際には、適切な積分定数を加えることを忘れずに。

解く過程で得られる積分結果を整理して、最終的な解を求めます。この微分方程式は、実際には少し手間がかかりますが、計算を繰り返すことで解が得られます。

微分方程式 y’ = (2x – y) / (x – y) は変数分離法を使って解くことができます。式を変形してから積分を行い、最終的に解を得ることが可能です。解法に慣れることで、より複雑な微分方程式にも対応できるようになります。