n² + 1がpの倍数であることと、nをpで割った余りがaまたはp-aであることの証明

この問題は、整数の性質を使った数学の証明問題です。nとaが正の整数であり、p = a² + 1が素数であるとき、n² + 1がpの倍数であることと、nをpで割った余りがaまたはp-aであることが同値であることを証明する問題です。具体的な流れを解説していきます。

問題の整理

まず、与えられた条件を整理します。

これらをもとにして、問題の証明を進めます。

問題を解くためには、n² + 1がpの倍数であるという条件と、nをpで割った余りがaまたはp-aであるという条件をそれぞれ考え、同値であることを示します。

まず、n² + 1がpの倍数であるという条件を式で表現します。

n² + 1 ≡ 0 (mod p)

すなわち、n² ≡ -1 (mod p) となります。この式を使って、nをpで割った余りがaまたはp-aであることを示すために、aをpで割った余りとその性質を考えます。

例えば、pを5と仮定してみましょう。この場合、p = 5、a = 2とすると、p = a² + 1 = 2² + 1 = 5が成り立ちます。

次に、nを5で割った余りが2または3であるとき、n² + 1が5の倍数になることを確認します。

n = 2のとき、n² + 1 = 2² + 1 = 5、n = 3のとき、n² + 1 = 3² + 1 = 10となり、どちらも5の倍数です。

一般に、n² + 1がpの倍数であることと、nをpで割った余りがaまたはp-aであることが同値であることを証明するためには、上記のように具体的な値を代入して確かめるだけでなく、余りの性質や合同式の性質を利用して証明を行います。

n² + 1がpの倍数であることと、nをpで割った余りがaまたはp-aであることは、合同式の性質を用いて証明できます。具体的な値を使って確かめると、同値性が成立することが確認できます。この問題は、数論の基本的な性質を理解するのに非常に役立つ例です。