ロピタルの定理を使う際の基本的な手順と例

ロピタルの定理を使って極限を求める際、特に注意するべきポイントやその手順を解説します。具体的な例を使って、どのようにロピタルの定理を適用するかを確認してみましょう。

1. 序論: ロピタルの定理の基本

ロピタルの定理は、ある極限が不定形の場合に、その極限を求めるための強力な方法です。特に、0/0 や ∞/∞ という形で不定形を示す場合に有効です。

ロピタルの定理を使うには、まずその極限が不定形であることを確認する必要があります。また、関数が微分可能であることと、微分した後の関数の極限が収束することも重要です。

例えば、lim(x→+0) x log(x) の極限を求める問題を考えてみましょう。ここでは、f(x) = log(x)、g(x) = 1/x とおき、x→0 の時にそれぞれの関数がどう振る舞うかを考えます。

まず、f(x) = log(x) と g(x) = 1/x について、x→0 の時に f(x) → -∞、g(x) → ∞ となります。このように不定形の0×∞に見える問題が発生しますが、この時にロピタルの定理を適用します。

ロピタルの定理に従って、f'(x) = 1/x、g'(x) = -1/x² となります。次に、これらを使って極限を求めます。

lim(x→+0) f'(x)/g'(x) = lim(x→+0) (-x) = 0 となり、この結果から、lim(x→+0) x log(x) = 0 が得られます。

ロピタルの定理を使う際には、不定形であること、微分可能であること、そして微分した後に収束することを確認することが重要です。上記の例では、x log(x) の極限を簡単に求めることができました。

このように、ロピタルの定理は難しい極限の計算を簡単にするための強力なツールです。正しい手順を踏んで適用することで、複雑な問題でも解法にたどり着けます。