媒介変数表示での作図問題において、dx/dt や dy/dt の増減表を作成するだけでは凹凸の情報がわからないことがあります。この問題に対処するためには、d²y/dx²（二階微分）を求めることが役立ちますが、毎回それを求めなければならないのでしょうか？この記事では、その解法と理由を詳しく解説します。
媒介変数表示における凹凸の判別
媒介変数表示での曲線の凹凸を調べるためには、基本的にdy/dxの増減表を作成します。しかし、この方法だけでは凹凸が明確にわからないことがあり、さらにd²y/dx²（二階微分）を求める必要が生じることがあります。
凹凸を知るためには、dy/dxの増減だけでなく、d²y/dx²の符号も重要です。d²y/dx²が正であれば、曲線は上に凸（凹み）、負であれば下に凸（山）となります。
d²y/dx²を求める方法
d²y/dx²を求める方法は、まずdy/dxをt（媒介変数）に関して微分することから始めます。具体的には、dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) という式を使って、tに関する微分を行います。
次に、この結果を使ってd²y/dx²を求めると、曲線がどのように変化するか、つまり凹凸の情報を得ることができます。この方法は、正確な凹凸の判定を行うために非常に有効です。
増減表を使った方法とd²y/dx²の併用
増減表を作成することは、基本的な曲線の傾向をつかむのに役立ちます。しかし、単に増減表だけでは、曲線の凹凸を完全に把握することはできません。d²y/dx²を求めることで、曲線の精度を高めることができます。
例えば、増減表でdy/dxが増加している場合、d²y/dx²が正であれば、曲線は上に凸であることがわかります。逆に、dy/dxが減少している場合、d²y/dx²が負であれば、曲線は下に凸となります。
毎回d²y/dx²を求める必要があるか？
結論として、毎回d²y/dx²を求める必要があるわけではありません。しかし、凹凸を正確に判断するためには、d²y/dx²を求めることが非常に有効です。特に、複雑な曲線や微妙な凹凸を判断する際には、この方法が必須となることがあります。
まとめ
媒介変数表示での作図問題では、dx/dtやdy/dtの増減表だけでは凹凸が完全にわからない場合があります。このため、d²y/dx²を求めることで、凹凸を正確に把握することができます。毎回求める必要はないものの、必要に応じて使うことで、より精密な曲線の分析が可能になります。
コメント