群(Z/9Z)における逆元の求め方 - 2×7×4の逆元の解法

群(Z/9Z)における逆元の求め方について、特に「2×7×4の逆元」を求める問題を解説します。この問題では、群の演算と逆元の計算方法を理解することが大切です。ここでは具体的な計算手順を示し、逆元を求める方法を紹介します。

1. 群(Z/9Z)とは？

群(Z/9Z)とは、9で割った余りを元とする加法群のことです。この群では、0から8までの整数が要素となり、加法の演算を行います。しかし、今回の問題では乗法の演算について考えています。

逆元とは、群の中で与えられた元に対して、演算を行うことで単位元（ここでは1）になる元のことです。今回の問題では、乗法における逆元を求めることになります。つまり、ある数と掛けて1になる元を見つけることが目標です。

今回求めるのは、2×7×4の逆元です。このような問題は、まず各数の逆元を個別に求め、その後乗算していく方法を取ります。

群(Z/9Z)において、2の逆元を求めるためには、2×x ≡ 1 (mod 9) を満たすxを求めます。計算を進めると、x = 5 が解となります。したがって、2の逆元は5です。

同様に、7の逆元を求めるためには、7×x ≡ 1 (mod 9) を満たすxを求めます。計算を進めると、x = 4 が解となります。したがって、7の逆元は4です。

最後に、4の逆元を求めるためには、4×x ≡ 1 (mod 9) を満たすxを求めます。計算を進めると、x = 7 が解となります。したがって、4の逆元は7です。

2×7×4の逆元は、まず個別に求めた逆元を掛け合わせることで求めることができます。具体的には、(2の逆元)×(7の逆元)×(4の逆元)となります。

つまり、5×4×7 = 140 となりますが、これを9で割った余りを求めると、140 ≡ 5 (mod 9) です。

したがって、2×7×4の逆元は5であることがわかりました。このように、逆元を求める問題では、まず個別に逆元を求め、その後乗算を行うことが重要です。