二次不等式の解の存在範囲の求め方: 判別式、因数分解、関数への落とし込み

二次不等式の解の存在範囲を求める際、判別式、因数分解、関数への落とし込みなどの方法があります。それぞれの方法をどのように使い分けるべきか、順を追って解説します。

1. 判別式を使った解の存在範囲

まず、二次不等式の解が存在するかどうかを判別する際に使うのが判別式です。二次不等式の標準形は「ax² + bx + c ≥ 0」または「ax² + bx + c ≤ 0」のように表されます。

このとき、判別式Δ = b² – 4acを使い、解の存在を判断します。Δ > 0の場合、解は2つあり、Δ = 0の場合、解は1つ、Δ < 0の場合、実数解は存在しません。

次に、因数分解を使う方法です。解の存在範囲を求めるためには、まず不等式を因数分解できる形に変形します。たとえば、ax² + bx + c = 0の解を求めるときに因数分解が使えます。

因数分解が可能な場合は、解の範囲が明確になり、不等式を満たす区間が一目で分かります。例えば、(x – p)(x – q) ≥ 0といった形になれば、xがp以下またはq以上であれば不等式を満たすことが分かります。

次に、関数の形に落とし込む方法です。二次関数をy = ax² + bx + cのように表現し、この関数のグラフがx軸と交わる位置（解の位置）を確認します。

不等式の方向（≥、≤）に応じて、グラフがx軸の上側または下側にある部分を考え、その範囲が解の存在範囲になります。

二次不等式の解の存在範囲を求める際は、判別式で解が存在するかを確認し、因数分解で解の位置を特定し、関数のグラフを使って解の範囲を明確にします。これらの方法を状況に応じて使い分けることで、効率よく解の存在範囲を求めることができます。