x→constのとき、x'→0になる理由とその証明

微積分において、変数xが定数に近づくとき、x’（xの導関数）は0に収束するのかという疑問があります。この記事では、x→constのときにx’→0になる理由とその証明について解説します。

x’とは何か？

まず、x’とは、xの導関数を意味します。導関数は、関数の変化の速さ、すなわち、xの値がどれくらい変化するかを示す指標です。関数f(x)の導関数f'(x)は、f(x)の傾きを表します。

導関数が0になるということは、関数の傾きが0であることを意味し、これはグラフが水平になることを示します。次に、x→constの場合について見ていきましょう。

x→constのとき、xは定数の値に近づくため、xの変化量は極めて小さくなります。具体的には、xが定数になると、xの変化は0になり、導関数もまた0に収束します。

この挙動は、微積分の基本的な定義からも確認できます。定義によれば、x’は、xの微小な変化に対するf(x)の変化の比率として定義されます。xが定数に近づくことで、f(x)の変化量が0に近づくため、x’も0に近づくのです。

ここでは、x→constのときにx’→0となる理由を微分の定義を使って証明します。xが定数である場合、xの変化量Δxは0に近づきます。このとき、導関数の定義は次のようになります。

x’ = lim(Δx→0) (f(x+Δx) – f(x)) / Δx

もしxが定数であれば、xの変化Δxは0となり、したがって(x+Δx) – x = 0になります。これにより、(f(x+Δx) – f(x))も0になり、結果としてx’ = 0となるのです。

x→constのときにx’→0となる理由は、xが定数に近づくことでxの変化量がなくなり、その結果導関数も0に収束するからです。微積分の定義に基づいた数学的な証明も可能であり、xが定数の場合、導関数は必ず0になります。