直線が垂直に交わるときの定数aの値の求め方

この問題では、2つの直線が垂直に交わるときの定数aの値を求めます。質問者が示したように、答えはa=4ですが、-4でも成り立つと思われる理由について詳しく解説します。

直線の方程式と傾きの関係

直線の方程式が与えられたとき、その直線の傾きは係数を用いて求めることができます。直線の方程式がax + by + c = 0 の形をしている場合、傾きmは、m = -a/bで表すことができます。この傾きを使って、2つの直線が垂直に交わる条件を求めます。

2直線が垂直に交わるためには、2つの直線の傾きの積が-1である必要があります。つまり、m₁ * m₂ = -1 という関係が成り立ちます。

まず、与えられた直線の方程式 3x + 4y + 5 = 0 を見ると、この直線の傾きはm₁ = -3/4です。次に、直線 ax + (1-a)y + 2a = 0 の傾きを求めます。この直線の傾きは m₂ = -a/(1-a) です。

ここで、2直線が垂直に交わる条件を使うと、m₁ * m₂ = -1 となります。したがって、(-3/4) * (-a/(1-a)) = -1 という式が得られます。

垂直に交わるための条件 (-3/4) * (-a/(1-a)) = -1 を解くと、aの値が求められます。この式を解くと、a = 4が得られます。

なぜa=4が唯一の答えとなるのでしょうか？実際、a=-4の場合も式を満たしますが、この場合、直線の定義が適用できないため、a=4のみが解として成立するのです。したがって、a=-4ではなくa=4のみが正解となります。

直線が垂直に交わる条件を用いて定数aの値を求めた結果、a=4が正解であることがわかりました。a=-4も式を満たすものの、直線の定義において適切でないため、最終的な答えはa=4となります。このように、解法の過程で条件を確認し、適切な解を導くことが重要です。