円の接線問題における判別式と中心からの距離の関係

青チャートの問題に関して、円の接線問題を解く際に使用される2つの方法、すなわち判別式を使った方法と中心から接線までの距離を利用した方法の違いについて解説します。特に、接点の座標を求める場合とそうでない場合にどのように使い分けるべきかを詳しく見ていきます。

円の接線の問題とは

円と直線が接する問題は、円の方程式と直線の方程式を連立させて求めることができます。接線の位置を求めるために用いられる方法として、接点の座標を求める方法と、中心から接線までの距離を利用する方法があります。後者の方法は計算が楽である場合が多いです。

接点の座標を求める場合、円と直線の方程式を連立して得られる2次方程式の判別式を利用することができます。この方法では、判別式 D が0であるときに接線が存在することが分かります。この場合、接点の座標が明示的に求められ、解の有無を判定することができます。

接点の座標を求める必要がない場合、中心から接線までの距離が半径と等しいという関係を使う方が計算が簡単です。これは、接線の方程式と円の方程式の連立を避け、直接的に計算できるため、より効率的です。

接点の座標を求める場合、判別式を用いる方法が有効です。これは、接線と円がどのように交わるのか、また接点が一つか、複数あるかを判別式で簡単に判断できるためです。一方、接点の座標が不要な場合には、中心から接線までの距離を使う方が計算が簡便であり、効率的な解法となります。

円の接線の問題では、接点の座標を求める場合には判別式を使い、接点の座標が必要ない場合には中心から接線までの距離を使う方が計算が簡単です。問題の要求に応じて、最適な方法を選ぶことが重要です。