微分方程式の解法: y'' - 2bxy' + b^2x^2y = x (b > 0) の解き方

この記事では、微分方程式 y” – 2bxy’ + b^2x^2y = x (b > 0) の解法について解説します。この方程式は、2階の線形常微分方程式であり、特に解の方法として定常解を求める手順を中心に説明します。

問題の整理

与えられた微分方程式は、次のようになります。

y” – 2bxy’ + b^2x^2y = x

ここで、bは正の定数です。まず、右辺がxという形であることに注目し、解を導出するためのアプローチを考えます。

この微分方程式を解くためには、まず同次方程式 y” – 2bxy’ + b^2x^2y = 0 を解くことが重要です。その後、特解を求めることで、最終的な解を得ます。

同次方程式の解を求めるためには、変数分離法やパラメータの適用などの方法を用います。解の形を仮定して、定数bを用いて具体的な解法に進んでいきます。

同次方程式 y” – 2bxy’ + b^2x^2y = 0 は、特に指数関数や多項式の形を取ることが多いです。ここでは、解が多項式の形を持つことを仮定し、簡単な計算で解を求めることができます。

具体的に解を求める手順として、解の形式を仮定して、代入していく方法が一般的です。例えば、特性方程式を求めて、解を導きます。

次に、非同次項がxであるため、特解を求めます。特解は、非同次項に合うような形で仮定します。この場合、特解の形は一般的に多項式や指数関数の形を取ります。

特解の求め方として、xの低次の項を仮定して代入し、定数を決定します。この方法で、特解を得ることができます。

同次方程式の解と特解を組み合わせることで、元の微分方程式の解が得られます。最終的に、定数を決定し、一般解として微分方程式の解が求められます。

微分方程式 y” – 2bxy’ + b^2x^2y = x の解法は、同次方程式の解を求めた後、特解を導出する方法に基づいています。これにより、最終的な解を得ることができ、定数を決定して完全な解を求めることができます。