f(x) = √x・logxの値域を求める方法（0 < x ≦ 1の場合）

数学の関数f(x) = √x・logxにおいて、0 < x ≦ 1の範囲でその値域を求める問題を解説します。これにより、平方根と対数が含まれる関数の取りうる値の範囲を理解することができます。具体的な計算手順と解法を順を追って解説していきます。

f(x) = √x・logxの関数の理解

関数f(x) = √x・logxは、2つの関数の積として表されています。一つは平方根関数√x、もう一つは対数関数logxです。まず、この2つの関数の特徴を確認します。

平方根関数√xは、x > 0の範囲で定義されており、xが0に近づくと0になり、xが1に近づくと1になります。

対数関数logxは、x > 0の範囲で定義されており、x = 1のときlogx = 0、xが1より小さい場合logxは負の値を取ります。

f(x) = √x・logxの範囲を求めるためには、xの範囲0 < x ≦ 1におけるこの関数の挙動を詳しく調べる必要があります。まず、xが1に近づく場合とxが0に近づく場合の挙動を考えます。

x = 1のとき、√x = 1、logx = 0です。したがって、f(1) = 1 * 0 = 0となります。

xが0に近づくと、√xは0に近づき、logxは負の無限大に向かって発散します。しかし、√xが0に近づくスピードがlogxが負の無限大に向かうスピードよりも速いため、f(x)は0に近づきます。

xが0 < x ≦ 1の範囲で、f(x)の最大値はx = 1のときに達成されます。f(1) = 0であり、最小値はxが0に近づくときに達成され、f(x)は0に近づきます。

したがって、関数f(x) = √x・logxの値域は、0 ≦ f(x) < 0です。この範囲は、0より大きく、xが1に近づくときに0になりますが、決して0にはならず、0に近づく形で値を取ります。

このように、平方根と対数が絡む関数では、xの範囲に応じて関数の挙動をよく理解することが重要です。具体的な計算方法を通じて、より深く理解を深めていきましょう。