二次方程式を利用した問題の解説: 面積の求め方と道路の幅

中学数学

2025.07.21

この記事では、二次方程式を使って解くことができる問題について、2つの例を紹介します。1つ目は直角三角形の面積に関連する問題、2つ目は長方形の土地に道路を作る際の計算方法です。それぞれの問題を順を追って解説しますので、理解しやすい内容となっています。

① 直角三角形と四角形の面積問題

問題では、直角三角形ABCの辺AB＝8cm、BC＝16cm、∠B＝90°の条件が与えられています。点PはAを出発し、秒速1cmで辺AB上をBまで動き、点QはBを出発して秒速2cmで辺BCまで動きます。四角形APQCの面積が52cm²になるのは、PとQが出発して何秒後かを求める問題です。

まず、Pの動きとQの動きを時間で表し、それぞれの位置を計算します。そして、四角形APQCの面積を求めるために、面積公式を利用して、時間を求めます。

1. 点PがAからBまで動く速さは秒速1cmなので、PがBに到達するまでの時間は8秒です。

2. 点QはBを出発して秒速2cmでBCまで動くため、QがCに到達する時間は8秒です。

3. したがって、PとQが出発してから8秒後に四角形APQCの面積が52cm²になります。

次に、長方形の土地の面積問題です。土地の縦が30m、横が45mの長方形で、同じ幅の道路を作り、残りの土地を花壇にするという問題です。花壇の面積が1000㎡になるように、道路の幅を求めます。

まず、長方形の面積を求め、その後、花壇の面積を引いて道路の面積を求めます。最終的に、道路の幅を求めるための方程式を立てて解きます。

1. 長方形の面積は、縦30mと横45mを掛け合わせて1350㎡です。

2. 花壇の面積が1000㎡なので、道路の面積は1350㎡ – 1000㎡ = 350㎡です。

3. 道路の幅をxとすると、道路部分の面積は(x×30) + (x×45) – x²となり、これが350㎡に等しいという式を立てます。

4. 方程式を解くことで、道路の幅xが求められます。

二次方程式を用いることで、直角三角形の面積や長方形の土地に関する問題を簡単に解くことができます。具体的なステップを踏んで解くことで、より理解が深まります。どちらの問題も、面積を求めるための基本的な計算方法に基づいており、問題に応じて適切な公式を適用することが重要です。