可換環論における環準同型と全射の関係についての解説

可換環論における環準同型とその性質に関する質問が多くありますが、特に「環準同型f:A→Bがあり、BとA/Ker(f)の間に環の同型g:B→A/Ker(f)があるとき、fは全射であると言えるか？」という問題について考察します。本記事では、この問いに対する理論的な背景と、全射の性質について詳しく解説します。

環準同型とその定義

環準同型とは、二つの環AとBの間で、加法と乗法が保存される写像のことを指します。具体的には、f: A → B という写像が環準同型であるためには、次の条件を満たす必要があります：
1. f(x + y) = f(x) + f(y) (加法の保存)
2. f(xy) = f(x)f(y) (乗法の保存)

核と商環

Ker(f)はfの核であり、これはfが0に写像するAの元の集合です。商環A/Ker(f)は、Aの元をfの核で割った商環を意味します。商環は環Aをその核で割った構造であり、この商環を利用することで、写像fの性質をより明確に理解できます。

全射の定義と証明

全射とは、写像f: A → Bにおいて、Bの任意の元b ∈ Bについて、少なくとも1つの元a ∈ Aがf(a) = bを満たすという性質です。つまり、fがBの全ての元を網羅している場合、fは全射です。質問にあるように、もしBとA/Ker(f)の間に環の同型gが存在するならば、fは全射であるといえます。

同型と全射の関係

BとA/Ker(f)の間に環同型gが存在する場合、gはBの元をA/Ker(f)の元に正確に対応させます。この同型があるということは、fの像がBに対応していることを示しており、fは全射であると結論できます。従って、fが全射であるための十分条件として、商環A/Ker(f)とBの間の同型関係が成り立つことが重要です。

まとめ

環準同型f: A → Bの問題において、BとA/Ker(f)の間に環の同型gが存在する場合、fが全射であることが確認できます。この理論は可換環論の基本的な性質に基づいており、商環と核を利用した証明は非常に有力です。このような理解を深めることによって、環準同型に関する問題を効果的に解くことができます。