偏角の原理と積分路に関する問題：lim[ε→0]∫_β f'(z)/f(z)dz=2πin の検証

本記事では、関数fがC\{0}上正則で、z=0でn位の極を持つ場合の偏角の原理と積分路に関する問題を解説します。具体的には、曲線β（半径εの円）を使った積分に関して、lim[ε→0]∫_β f'(z)/f(z)dz=2πin が成り立つかどうかを検証します。

偏角の原理の理解

まず、偏角の原理について簡単におさらいします。偏角の原理によると、関数f(z)がz=0でn位の極を持つ場合、単位円周（反時計回り）を積分路としたとき、積分∫_α f'(z)/f(z)dzは2πinになります。この結果は、極の位置における偏角の変化を反映したもので、極の位数nがそのまま結果に現れます。

この原理を基にして、次に与えられた積分について考えます。積分路βは、原点を中心とする半径εの円で、反時計回りに向かう曲線です。

積分路βにおける問題の設定

問題では、積分路βを原点中心半径εの円とし、εが0に近づく極限を取ったときの積分値がどうなるかを求めています。この時、積分の式は∫_β f'(z)/f(z)dzとなります。

重要な点は、積分路が原点中心に収束する際の挙動です。z=0でn位の極を持つ関数f(z)において、原点付近の挙動を正確に把握する必要があります。これにより、積分の値がどのように変化するのかが見えてきます。

ε→0のときの挙動

ε→0の極限を取ると、積分路βは原点に非常に近づきます。このとき、関数f(z)はz=0付近で極に従って挙動します。そのため、f(z)が原点付近でどのような挙動を示すかを考慮することが必要です。

具体的には、f(z)がz=0でn位の極を持つ場合、f'(z)/f(z)は極を持つ点で特定の性質を持つため、積分の結果として2πinが得られることが理論的に導かれます。この結果は、積分路が原点に収束することで得られる一般的な挙動となります。

lim[ε→0]∫_β f'(z)/f(z)dz=2πin の成り立ち

ε→0の極限を取るとき、積分∫_β f'(z)/f(z)dzは、偏角の原理に基づいて2πinという結果に収束します。したがって、この問題においても、lim[ε→0]∫_β f'(z)/f(z)dz=2πinは成り立つことが確認できます。

まとめ

本記事では、関数fがz=0でn位の極を持つ場合の偏角の原理と、積分路βに関する問題を解説しました。ε→0の極限を取った際に、積分∫_β f'(z)/f(z)dzが2πinになることを理論的に確認しました。これにより、積分路が原点中心に収束する場合の積分の結果が得られることが理解できました。