確率の問題に取り組む際、特に手順をしっかり理解しないと、よく間違いを犯してしまいます。この記事では、袋に入っている白玉と黒玉を取り出す問題を例に、確率の計算方法を分かりやすく解説します。この問題は、玉を順番に取り出していく過程で生じる確率を正確に求めるものです。解説とともに、一般的に起こりやすい誤解についても触れ、正しい解法を理解しましょう。
問題の概要と条件
この問題では、A、B、Cの3つの袋があります。それぞれの袋には、白玉と黒玉が一定数入っており、順番に玉を取り出していくという設定です。まず、Aの袋から1個玉を取り出し、次にその玉をBの袋に入れます。その後、Bから1個玉を取り出してCの袋に入れ、最後にCから1個玉を取り出すことになります。このとき、Cから取り出した玉が白である確率を求める問題です。
玉の数と確率の計算
まず、各袋に入っている玉の数は以下の通りです。
- A袋: 白玉 4個、黒玉 2個
- B袋: 白玉 2個、黒玉 2個
- C袋: 白玉 1個、黒玉 2個
玉を順番に取り出す過程で、どの玉がどの袋に入るかを追って計算していきます。
手順1：A袋からB袋への玉の移動
最初にA袋から玉を取り出します。A袋には白玉が4個、黒玉が2個入っているので、白玉を取り出す確率は4/6、黒玉を取り出す確率は2/6です。
手順2：B袋からC袋への玉の移動
次に、B袋から1個玉を取り出してC袋に入れます。B袋の玉の構成は、取り出した玉によって変わります。例えば、A袋から白玉が取り出され、B袋に白玉が1個追加された場合、B袋には白玉3個、黒玉2個が入ります。
このように、B袋から取り出される玉が白玉である確率は、その時点でB袋に入っている白玉の割合に依存します。例えば、B袋に白玉が3個、黒玉が2個あれば、白玉を取り出す確率は3/5です。
手順3：C袋から1個玉を取り出す確率
C袋に玉が入った後、C袋から1個玉を取り出す確率を求めます。C袋の玉の構成は、B袋から取り出された玉によって変わります。
例えば、B袋から白玉がC袋に入った場合、C袋には白玉2個、黒玉2個が入ることになります。この時点で、C袋から白玉を取り出す確率は2/4、つまり1/2となります。
計算の誤解とその修正
質問の中で、B袋からC袋に白玉を移した場合、C袋の玉の構成が2/4になり、確率が1/2になると述べられています。しかし、解説には確率が1/4と記載されています。この誤解の原因は、B袋からC袋に玉を移す際の確率の取り方にあります。
実際、問題においては、確率の計算を細かく行わなければならず、間違った計算を避けるためには、各段階での確率を慎重に確認することが大切です。
まとめ：確率の計算における注意点
確率の問題を解く際、重要なのは各ステップでの確率を正確に計算することです。今回の問題では、玉を取り出す順番や、その後の玉の追加が確率にどのように影響するかを丁寧に追う必要があります。計算の過程で出てくる誤解を防ぐためにも、確率の法則に従い、一歩一歩計算を進めることが大切です。
このような確率の問題に取り組むことで、確率論の理解が深まり、今後の問題解決に役立つでしょう。
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