点a€Dでの関数z＝f(x)の微分可能性の定義とは？

微分可能性は、関数が滑らかに変化することを意味します。点a€Dでの関数z＝f(x)の微分可能性について、定義を理解することは、微積分における基本的な概念の一つです。

微分可能性の定義

関数z＝f(x)が点aで微分可能であるための定義は、次のように表されます。点a€Dで関数f(x)が微分可能であるとは、以下のリミットが存在することを意味します。

lim_h→0 [(f(a+h) – f(a))/h] が存在すれば、関数f(x)は点aで微分可能です。これが意味するのは、関数の変化が線形に近い（つまり、直線的に変化する）ことです。

関数が微分可能であるためには、まずその関数が連続でなければなりません。つまり、点aで関数の値が連続していることが前提となります。ただし、連続であっても必ずしも微分可能とは限らないこともあります。

直感的には、微分可能性は関数がその点で「滑らかに」変化することを意味します。例えば、グラフが鋭角でない、つまり急激な折れ曲がりがない場合、その点で微分可能であると言えます。微分可能でない点では、関数の変化が急激であったり、鋭い角度であったりすることがあります。

例えば、f(x) = x²という関数は、すべての実数xにおいて微分可能です。点a = 1で考えると、リミットlim_h→0 [(f(1+h) – f(1))/h]を計算することで、微分可能性を確認できます。

関数の微分可能性を定義するには、リミットを使ってその点での変化が滑らかかどうかを調べます。微分可能な関数は、特に物理学や工学において、変化率を求めるために非常に重要な役割を果たします。