今回は、2つの関数の極値点とその極値の値を求める問題について解説します。これらの問題では、関数の導関数を使って、極値点を求め、極値を計算します。
問題1: f(x,y) = x³ + y³ – 3xy + 1 の極値点と極値
この関数の極値を求めるためには、まず偏微分を行います。
偏微分。
∂f/∂x = 3x² – 3y
∂f/∂y = 3y² – 3x
次に、この2つの式を連立させて解きます。
連立方程式。
3x² – 3y = 0 → x² = y
3y² – 3x = 0 → y² = x
この2つの式からx = yとわかります。これを元の方程式に代入して解くと、x = y = 0 です。
したがって、極値点は (0, 0) です。
次に、極値の値を求めます。
f(0, 0) = 0³ + 0³ – 3×0×0 + 1 = 1
この関数の極値は 1 です。
問題2: f(x,y) = √x + √y – (1/2)x – (1/2)y の極値点と極値
この関数の極値を求めるためには、同様に偏微分を行います。
偏微分。
∂f/∂x = 1/(2√x) – 1/2
∂f/∂y = 1/(2√y) – 1/2
次に、この2つの式を連立させて解きます。
連立方程式。
1/(2√x) – 1/2 = 0 → √x = 1
1/(2√y) – 1/2 = 0 → √y = 1
これらの式からx = y = 1が得られます。
したがって、極値点は (1, 1) です。
次に、極値の値を求めます。
f(1, 1) = √1 + √1 – (1/2)×1 – (1/2)×1 = 1 + 1 – 0.5 – 0.5 = 1
この関数の極値は 1 です。
まとめ
以上のように、関数の極値点と極値の値を求めるためには、まず偏微分を行い、連立方程式を解くことで極値点を求め、その後、求めた点における関数の値を計算することができます。どちらの問題でも、極値点は (0, 0) と (1, 1) で、極値は 1 でした。
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