平行移動後の楕円の方程式と焦点の座標を求める方法

楕円の方程式やその特徴を理解することは、数学において非常に重要です。特に、楕円を平行移動させた場合の新しい方程式や焦点の位置について考える問題はよく出題されます。この記事では、楕円の方程式x^2/p^2 + y^2/q^2 = 1 (p > q > 0) をx軸方向にa、y軸方向にbだけ平行移動させた場合の新しい方程式、焦点の座標を求める方法を解説します。

元の楕円の方程式と特徴

元の楕円の方程式は次のように表されます。

x^2 / p^2 + y^2 / q^2 = 1

ここで、p > q > 0 です。この方程式は、原点を中心とする楕円を表しており、焦点は(±√(p^2 – q^2), 0)に位置しています。

平行移動後の楕円の方程式

この楕円をx軸方向にa、y軸方向にbだけ平行移動させた場合、新しい楕円の方程式は次のようになります。

(x – a)^2 / p^2 + (y – b)^2 / q^2 = 1

これは、元の楕円の中心を(a, b)に移動させたものです。平行移動によって、楕円の形状は変わりませんが、位置が変更されます。

平行移動後の焦点の座標

元の楕円の焦点の座標は(±√(p^2 – q^2), 0)でしたが、楕円が平行移動すると焦点の位置も移動します。したがって、平行移動後の焦点の座標は次のように求められます。

(±√(p^2 – q^2) + a, b)

これが、平行移動後の楕円の焦点の座標です。焦点の位置は、元の位置からx軸方向にa、y軸方向にbだけ平行移動したものになります。

まとめ

楕円の方程式を平行移動させると、元の方程式にxとyの変数を移動量a、bで調整した形になります。また、焦点の座標も平行移動後の位置に調整されます。これらを理解することで、楕円に関するさまざまな問題を解くことができるようになります。