関数 f(x) = x(e^x - 4e^(-x)) の不等式と曲線の面積の求め方

関数 f(x) = x(e^x – 4e^(-x)) についての問題では、まず不等式 f(x) < 0 を解くことと、次に曲線 y = f(x) と x軸で囲まれた図形の面積を求めることが求められています。この記事では、これらの問題を順を追って解説します。

不等式 f(x) < 0 を解く

関数 f(x) = x(e^x – 4e^(-x)) において、不等式 f(x) < 0 を解くためには、まず f(x) の符号を調べます。

f(x) の中身を展開すると、f(x) = x(e^x – 4e^(-x)) となります。この式を解くには、まず e^x と e^(-x) の項をそれぞれ取り扱います。そして x が正または負の値を取るときの挙動を分析します。計算と論理を駆使して、f(x) が負になる範囲を求めることができます。

まず、x > 0 の場合、x の符号が正であるため、(e^x – 4e^(-x)) の部分が負であれば、f(x) は負となります。一方、x < 0 の場合、x の符号が負なので、この場合でも同様に (e^x - 4e^(-x)) の符号を調べて、f(x) が負になる範囲を特定します。

次に、関数 f(x) と x軸で囲まれた図形の面積を求めます。面積は定積分を使って求めることができます。

具体的には、f(x) が x 軸と交わる範囲を求め、その範囲で定積分を行います。f(x) が x 軸と交わる点を見つけ、その間で f(x) を積分することで、曲線と x 軸に囲まれた面積を求めることができます。

f(x) と x軸で囲まれた面積を求めるためには、f(x) の定積分を計算します。具体的な計算式は次のようになります。

面積 = ∫[a,b] |f(x)| dx

ここで、a と b は x 軸との交点であり、f(x) が正または負である範囲に応じて絶対値を取りながら積分します。この計算を行うことで、曲線と x 軸に囲まれた面積を得ることができます。

関数 f(x) = x(e^x – 4e^(-x)) に関する問題では、不等式を解くために関数の符号を調べ、さらに定積分を使って曲線と x 軸で囲まれた面積を求めました。このように、数学的な問題を解く際には、関数の性質をしっかり理解し、適切な方法で解決することが重要です。