n^2 – 2n – 24 が素数となる n の求め方と不等式の扱い方

今回の問題は、式 n^2 – 2n – 24 が素数となる n の値を求めるものです。解説では「0 < n - 6 < n + 4」のように不等式が示されていますが、「0 > n + 4 > n – 6」については記載がありません。このような場合にどう考えるべきかについても触れていきます。

1. 問題の式と不等式の理解

まず、与えられた式 n^2 – 2n – 24 の右辺が素数となるような n を求めます。素数とは、1とその数自身以外に約数を持たない自然数です。n が自然数であることを前提に、まずは式を整理していきます。

2. 式の変形と因数分解

式 n^2 – 2n – 24 は因数分解できます。具体的には、n^2 – 2n – 24 = (n – 8)(n + 3) となります。この式の積が素数になるためには、(n – 8) または (n + 3) のどちらかが 1 または -1 でなければなりません。

3. 解の求め方

それでは、(n – 8) = 1 または (n + 3) = 1 の場合をそれぞれ解いてみましょう。

• n – 8 = 1 の場合、n = 9
• n + 3 = 1 の場合、n = -2

また、-1 の場合にもそれぞれ解を求めますが、n = 7 の場合に答えが一致することがわかります。

4. 不等式の扱い方について

解説には「0 < n - 6 < n + 4」と書かれていましたが、「0 > n + 4 > n – 6」のような不等式については説明が省略されています。この場合、確かに逆向きの不等式は成り立たないため、記載しなくても問題ないと考えられます。なぜなら、この不等式を使って求めた解が n = 7 であるためです。

まとめ

問題の式 n^2 – 2n – 24 が素数となる n の値を求めると、n = 7 であることがわかりました。また、不等式の扱いについても、逆の不等式をわざわざ記載しなくても問題ない理由が説明できました。これで、解法の流れが理解できるかと思います。