大学受験の数学で出題される放物線と円の接する条件に関する問題は、直感的に理解するのが難しい場合もあります。特に、接する条件として得られる定数aの値を数式だけで求める方法について、どのように考えればよいのかを解説します。この記事では、与えられた方程式から接する条件を求める手順をわかりやすく説明します。
放物線と円の接する条件
問題に出てきた放物線と円の接する条件を数学的に求めるためには、まずこれらの方程式を理解する必要があります。放物線の方程式はy=x²+a、円の方程式はx²+y²=9です。この放物線と円が接するための条件は、解の重解を使う方法や、接線の傾きを使った方法などが考えられます。
接するというのは、放物線と円が1点で交わるということです。これを数式で表すためには、xを消去して1つのyに関する式にする必要があります。
放物線と円の式からxを消去する
まず、円の方程式x²+y²=9からx²を求め、放物線の方程式y=x²+aに代入していきます。これにより、yに関する2次方程式を得ることができます。この式がy²+y-a-9=0となります。
ここで、yについて考えます。y²+y-a-9=0の式は、解の判別式を使って接する条件を求めるために使います。接するための条件は、この方程式が重解を持つとき、すなわち判別式が0になることです。
判別式を使って接する条件を求める
y²+y-a-9=0の判別式を求めると、判別式Dは次のように計算できます。
D = 1² – 4×1×(-a-9) = 1 + 4(a+9) = 4a + 37
接するためには、判別式Dが0になる必要があるため、4a + 37 = 0 という式を解きます。これを解くと、a = -37/4が得られます。
a = ±3の場合の考慮
問題文では、a = ±3の場合にも接する条件が成り立つことが示されています。この場合、a = 3またはa = -3のときに、y² + y – a – 9 = 0の式が接する条件を満たします。これを数式的に求めるためには、a = ±3を代入してそれぞれの解を確認することが有効です。
a = 3の場合、y² + y – 3 – 9 = 0 となり、y² + y – 12 = 0の解が重解となる条件を満たします。同様に、a = -3の場合も確認することができます。
数式だけで接する条件を求める方法
接する条件を数式だけで求めるためには、判別式を使って重解を求める方法が有効です。判別式が0になるときに解が重解となり、これが接する条件です。また、a = ±3のケースについても、数式を使ってその解を確認することができます。
まとめ
放物線と円が接する条件を数式だけで求める方法は、解の判別式を使って重解を求めることです。判別式が0になるとき、放物線と円は1点で接します。具体的には、a = -37/4とa = ±3の場合に接することが確認できます。数式を用いて接する条件を導く方法は、図形的な考慮を省いても十分に求めることができます。
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