座標空間における2つの平面が交わる直線の方程式を求める問題は、数学でよく出題されるテーマです。与えられた2平面の方程式から交線を求める方法を解説していきます。
問題の平面と解法の概要
与えられた平面の方程式は次の通りです。
3x + 2y + z + 1 = 0 2x + y - 3z - 5 = 0
この2つの平面の交線を求めるには、まずこれらの方程式の解を求め、交線上の点の位置を導きます。交線は直線であり、求めるべきはその方程式です。
交線の求め方
交点となる直線を求めるためには、まずこの2つの平面の方程式を連立させます。連立方程式を解くことで、直線の方向ベクトルを求めます。
次に、この方向ベクトルを基に、交点となる直線の方程式をパラメトリック形式で表現します。パラメトリック形式では、直線上の任意の点をパラメータを使って表すことができます。
計算過程
まず、与えられた2つの方程式を連立させ、変数を1つ減らすことで解を求めます。次に、交線の方向ベクトルを求め、直線方程式を求めるためのパラメータを設定します。
具体的には、与えられた平面の式から1つの変数を解き、残りの2つの変数をパラメータで表現します。この方法で交線を表す直線の方程式を得ることができます。
最終的な答えと検算
最終的に得られる直線の方程式は次のように表されます。
(x - 11) / 7 = (-17 - y) / 11 = z
この直線の方程式を求めることで、与えられた2つの平面の交線を正確に表すことができます。答えに辿りつかない場合は、連立方程式の解法を再確認し、計算過程を見直してみましょう。
まとめ
このように、2つの平面が交わる直線の方程式を求めるためには、まず連立方程式を解いて交線の方向を求め、次にその方向を基に直線方程式を導きます。計算過程においては慎重に変数の操作を行い、求める直線の方程式にたどり着きましょう。
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