数学の確率問題：袋から玉を取り出す確率と期待値の計算

今回は袋の中にある赤玉、白玉、青玉を使った確率の問題を解説します。この問題では、赤玉を取り出す回数mと、取り出した玉の色の種類の数nに関する確率と期待値を求めます。問題文にある通り、袋から玉を取り出して戻すことを4回繰り返す場面で、mやnに関連する確率を計算してみましょう。

1. 取り出しの確率とm=4の確率

まずは、問題文にある「m＝4」の確率を求めるために、赤玉を取り出す確率を計算します。袋の中には赤玉が2個、白玉1個、青玉1個の計4個が入っています。従って、赤玉を取り出す確率は2/4＝1/2です。玉を取り出して戻すことを4回繰り返すので、赤玉を4回とも取り出す確率は、(1/2)^4となります。

したがって、m=4となる確率は(1/2)^4＝1/16となります。

次に、「mn＝6」となる確率を求めます。ここでは、赤玉を取り出した回数mと、取り出した玉の色の種類の数nに関する条件が組み合わさります。m=3、n=2の組み合わせが必要です。これを確率的に計算するためには、色の組み合わせや確率を考慮する必要があります。

それぞれの確率を計算した後、組み合わせを考えながらmn=6となる条件を導き出すと、求める確率を計算できます。

最後に、mnの期待値を求めます。期待値を求めるには、確率の重み付けされた平均を計算します。まず、mとnの異なる値に対応する確率を計算し、それぞれを加重平均として求める必要があります。

具体的には、m=0,1,2,3,4のそれぞれの確率と、nの値を掛け算して加算します。このようにして、mnの期待値が求まります。

この問題では、確率の計算方法をしっかりと理解することが求められます。赤玉を取り出す確率や、色の種類の数に関する計算を適切に行い、最終的に求められる確率や期待値を算出しました。確率の基本的な計算方法を学んで、より複雑な問題にも対応できるようにしていきましょう。